序数理论证明abc

1.(a+b+c)(a2+b2+c2)≥9abc怎么证明

首先,只有abc均大于等于0时上式成立,证明如下:

根据任意几个非负数的算术平均数大于等于其几何平均数可知,

a+b+c≥3√ abc(3√表示3次根号,下同)

同理a2+b2+c2≥3√a2b2c2

所以(a+b+c)(a2+b2+c2)≥93√a3b3c3

所以(a+b+c)(a2+b2+c2)≥9abc

证明就是这样的,如果你不知道什么是“任意几个非负数的算术平均数大于等于其几何平均数”或有其他不懂的地方可以再追问。

2.行列式中,abc为互异实数,证明|1 1 1||a b c||a^3 b^3 c^3|=0的充要条

证明: 等式左边行列式记为D.

考虑Vandermonde行列式D1

1 1 1 1

a b c x

a^2 b^2 c^2 x^2

a^3 b^3 c^3 x^3

= (b-a)(c-a)(c-b)(x-a)(x-b)(x-c).

直接计算其x^2的系数为: (b-a)(c-a)(c-b)(-a-b-c).

另一方面, 观察D1, 其x^2的系数恰为 A34=(-1)^(3+4)M34 = -D.

[考虑D1按第4列展开]

所以 D = (a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)

由a,b,c为互异实数, 所以D=0的充要条件是a+b+c=0.

[注: 行列式D可用性质化三角形行列式,这里提供另一方法计算它.

若是高阶, 此方法更显有用]

序数理论证明abc

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